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Dokument Type: Doctoral Thesis
Title: Neue Lösungsstrategien für l1-Minimierungsprobleme mit Kalman-Filtern
Other Titles: New solution strategies for l1-minimization problems with Kalman-filters
Authors: Hage, Dunja Alexandra 
Institute: NRW-Zentrum für Sensorsysteme (ZESS) 
Free keywords: Compressed Sensing, l1-Minimierungsprobleme
Dewey Decimal Classification: 510 Mathematik
GHBS-Clases: TLMP
YCG
TKE
TBU
Issue Date: 2020
Publish Date: 2021
Abstract: 
In vielen Problemen müssen hochdimensionale diskrete Signale aus verrauschten und
oft unterabgetasteten Daten rekonstruiert werden, was die Problematik der Lösung
von nominal unterdeterminierten, rauschbelasteten Gleichungssystemen aufwirft. Die
Theorie der komprimierten Abtastung besagt (und beweist), dass solche Signale tatsächlich
unter der Annahme der Dünnbesetztheit rekonstruiert werden können. Auf
dem breiten Forschungsgebiet, genannt Compressed Sensing – dessen Anwendungen
beispielsweise in der Medizin (MRT), Hochfrequenz-Kommunikationstechnologie und
Radar liegen – existieren bereits viele Algorithmen zur Rekonstruktion von sparsen
Signalen. Eine der wichtigsten Eigenschaften ist die so genannte Nullraum-Eigenschaft
der Sensormatrix. Sie stellt sicher, dass die sparse oder kompressible Darstellung durch
die ℓ1-Minimierung wiederhergestellt werden kann, die tatsächlich entweder durch konvexe
Optimierungsansätze, wie es der klassische Weg ist, oder alternativ durch schätztheoretische
Ansätze, z. B. durch das erweiterte linearisierte Kalman-Filter, realisiert werden kann.
In dieser Arbeit etablieren wir neue Ansätze zur Rekonstruktion sparser Signale durch
ℓ1-Minimierung mit einem Kalman-Filter. Das Kernstück unseres Kalman-Filters beruht
auf einer einfachen Idee. Auf Grundlage einer partikulären Lösung x_p (es existieren
unendlich viele Lösungen) schätzt das Kalman-Filter in jeder Iteration eine weitere
Lösung aus dem Nullraum der Messmatrix, sodass die Summe beider Vektoren eine
Lösung x = x_p + x_N mit reduzierter ℓ1-Norm erreicht. Im ersten Teil der Arbeit wird
im Kalman-Filter-Algorithmus, mit Hilfe von Konvergenzbeschleunigungsverfahren,
eine konvergierende Folge konstruiert, deren Grenzwert einen Lösungsvektor liefert,
der mit der Lösung des primal-dualen Algorithmus für ℓ1-Minimierung von Chambolle
& Pock übereinstimmt. Die Konvergenzbeschleunigungsverfahren resultieren aus dem
Delta2-Grundverfahren von Aitken. Für das Lösen von ℓ1-Minimierungsproblemen werden
zum Auffinden der Lösung vermehrt sogenannte Thresholdingverfahren eingesetzt. Im
zweiten Teil der Arbeit stellen wir das Kalman-Filter mit einem, den Anforderung genügendem,
externen Thresholdingverfahren vor. Mit diesem externen Thresholding,
welches nicht direkt das Kalman-Filter beeinflusst, können wir sparse Signale sehr
schnell rekonstruieren. Weitere Untersuchungen von rauschbehafteten Signalen mit
dem modifizierten Kalman-Filter bestätigen die Resultate in Bezug auf Rekonstruktionsfehler,
Rekonstruktionszeit, ℓ0-Norm und Supportfehler gegenüber den gängigen
bekannten ℓ1-Minimierungsalgorithmen, wie z. B. der primal-dual Algorithmus für
ℓ1-Minimierung von Chambolle & Pock und der Orthogonal Matching Pursuit.

In many problems, high-dimensional discrete signals need to be reconstructed from
noisy and often undersampled data, raising the issue of solving nominally underdetermined
noise-contaminated systems of equations. The theory of compressed sensing
states (and proves) that such signals can in fact uniquely be reconstructed under
the sparsity assumption. In the broad research field of compressed sensing – whose
applications are found, for example, in medicine (MRT), radar and high-frequency
communication technology, many algorithms already exist for the reconstruction of
sparse signals. One of the most important properties is the so-called null space property
of the sensor matrix. It ensures that the sparse or compressible representation
can be recovered by the ℓ1-minimization, which can in fact be realized either by convex
optimization approaches, which is the classical way, or alternatively by estimationtheoretic
approaches, e.g. by extended linearized Kalman-filters, which is the approach
analyzed in this paper.
In this work new results for the reconstruction of sparse signals by ℓ1-minimization
are established with such a Kalman-filter. The core of our Kalman-filter is based on a
simple idea. On the basis of a particular solution x_p (there are infinitely many solutions),
the Kalman-filter estimates another solution from the null space room of the
measurement matrix in each iteration step, so that the sum of both vectors achieves
a solution x = x_p + x_N with a reduced ℓ1-norm. In the first part, the Kalman-filter
uses convergence acceleration techniques to construct a convergent sequence whose
limit value provides a solution, which corresponds to Chambolle & Pock’s primal-dual
algorithm solution. The convergence acceleration methods result from the Delat2-basic
process of Aitken.
For solving ℓ1-minimization problems so-called thresholding methods are increasingly
used to find the solution. In the second part of the thesis the Kalman-filter is presented
with an external thresholding method. With this external thresholding, which does not
directly affect the Kalman-filter, we can now reconstruct sparse signals very quickly.
Further investigations of noise-affected signals with the modified Kalman-filter confirm
the results in terms of sparse recovery error, ℓ0-norm of the estimates, support mismatch,
and recovery time compared to the usual known ℓ1-minimization algorithms,
e.g., primal-dual algorithm of Chambolle & Pock and Orthogonal Matching Pursuit.
DOI: http://dx.doi.org/10.25819/ubsi/8734
URN: urn:nbn:de:hbz:467-18504
URI: https://dspace.ub.uni-siegen.de/handle/ubsi/1850
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