Obeidi, Scheima SaraScheima SaraObeidi2026-02-092026-02-092026https://dspace.ub.uni-siegen.de/handle/ubsi/8789In dieser Arbeit studieren wir den p-adische Regulator von Zahlkörpern, welcher eine arithmetische Invariante ist, die von Leopoldt eingeführt wurde. Wir verfolgen das Ziel, Vermutungen über die Verteilungen von p-adischen Regulatoren für Familien von Zahlkörpern herzuleiten, was bislang ausschließlich für Zahlkörper von ungeradem Primzahlgrad umgesetzt wurde. Zudem beabsichtigen wir, die Existenz von Formeln für p-adische Regulatoren von Zahlkörpern in Abhängigkeit von Zwischenkörpern zu untersuchen, ergänzend zu bisherigen Nachforschungen für andere arithmetische Invarianten. Wir erhalten Vermutungen für quadratische Zahlkörper, indem wir Bilder von Logarithmen bestimmen. Allgemeiner, für Familen von Zahlkörpern formulieren wir ein Prinzip, welches besagt, dass die Verteilung der Bewertungen von p-adischen Regulatoren und die Verteilung von spezifischen zufälligen Moduln gleich sind. Wir stellen Prinzipien für normale (Erweiterungen von) Zahlkörper(n) und nicht-normale Zahlkörper bereit. Eins der Hauptresultate, und Grundlage für die Prinzipien, gewährt für jede Primzahl p und für jeden Zahlkörper die Existenz eines endlichen Moduls, dessen Ordnung mit dem p-adischen Regulator verknüpft ist. Zusätzlich zeigen wir Formeln für erwartete Verteilungen von p-adischen Regulatoren für eine Auswahl von normalen Zahlkörpern, z.B. mit zyklischer Galoisgruppe. Die Formeln werden mithilfe eines Ansatzes hergeleitet, welcher Zufallsmatrizen und Gruppendeterminanten involviert. Außerdem beweisen wir Formeln für die Bewertung des p-adischen Regulators für normale Zahlkörper in Abhängigkeit von Zwischenkörpern und eine Verallgemeinerung für normale Erweiterungen von Zahlkörpern. Um diese Formeln zu zeigen, nutzen wir die Konzepte der skalaren Normrelationen, beziehungsweise Brauerrelationen, und kohomologische Mackey-Funktoren. Zusätzlich leiten wir eine Formel für p-adische L-Reihen eines Zahlkörpers und seinen Zwischenkörpern her. Zuletzt diskutieren wir offene Fragestellungen bezüglich Verteilungen von p-adischen Regulatoren und stellen computerbasierte Daten bereit, welche die formulierten Prinzipien für eine Auswahl von Beispielen stützen. Zusammenfassend erweitern die Prinzipien bisherige Vermutungen über Verteilungen von p-adischen Regulatoren und erlauben die bewiesenen Formeln für die Bewertung des p-adischen Regulators von normalen Zahlkörpern eine effizientere Berechnung durch Ausnutzung von Zwischenkörpern.In this thesis, we study the p-adic regulator of number fields, which is an arithmetic invariant introduced by Leopoldt. We aim to derive conjectural results regarding the distribution of p-adic regulators for families of number fields, which until now has been exclusively done for number fields of odd prime degree. Furthermore, we investigate the existence of formulas for p-adic regulators of number fields in terms of subfields, which supplements previous research for other arithmetic invariants. We obtain conjectures for families of quadratic number fields by computing images of logarithm maps. More generally, for a family of number fields, we establish a principle that states that the distribution of the valuations of p-adic regulators equals the distribution of specific random modules. We provide principles for normal (extensions of) number fields and non-normal number fields. One of the main results, and foundation for the principles, grants for every prime number p and for every number field the existence of a finite module that has an order linked to the p-adic regulator. Additionally, we prove formulas for expected distributions of p-adic regulators for a range of normal number fields, e.g., with cyclic Galois group. The formulas are derived by utilizing an approach that involves random matrices and group determinants. Moreover, we obtain formulas for the valuation of the p-adic regulator for normal number fields in terms of subfields and a generalization for normal extensions of number fields. To show these formulas, we use the concepts of scalar norm relations, or rather Brauer relations, and cohomological Mackey functors. Additionally, we derive a formula for p-adic L-functions of a number field and its subfields. Lastly, we discuss open questions concerning distributions of p-adic regulators and provide computational data that supports the formulated principles for a range of examples. In conclusion, the principles extend previous conjectures on distributions of p-adic regulators, and the proven formulas for the valuation of the p-adic regulator for normal number fields allow more efficient computations by exploiting subfields.en510 MathematikAlgebraische ZahlentheorieAlgebraic number theoryArithmetische StatistikArithmetic statisticsDoctoral ThesisTommy Hofmannurn:nbn:de:hbz:467-87890