Fischer, AndreasAndreasFischer2025-12-112025-12-112025https://dspace.ub.uni-siegen.de/handle/ubsi/7241Die numerische Homogenisierung umfasst Verfahren zur Lösung von Problemen mit mehreren Skalen. Das Ziel ist hierbei das zugrundeliegende Problem auf einer Makroskala unter Berücksichtigung des Einflusses einer heterogenen Mikroskala zu lösen. Numerische Homogenisierungsverfahren liefern somit ein besseres Verständnis des makroskopischen Problems bei gleichzeitiger Reduktion des numerischen Aufwandes gegenüber Analysen mit einer vollständigen Analyse der Mikroskala. Die Heterogene Multiskalen Finite Elemente Methode ist eines dieser numerischen Homogenisierungsverfahren und liefert durch eine vollständige a priori Fehleranalyse einen neuen und gleichzeitig bedeutenden Beitrag zur numerischen Homogenisierung mittels Zwei-Skalen Finite Elemente Methoden. In dieser Arbeit und den ihr zugrunde liegenden Veröffentlichungen wurde die Implementierung der Heterogenen Multiskalen Finite Elemente Methode für vektorwertige Probleme aus dem Bereich Elastizität beschrieben und zahlreiche weitere Aspekte untersucht. Dazu gehören i) Bestätigung der a priori Konvergenzaussagen für lineare Elastizität anhand zahlreicher Beispiele unterschiedlicher Regularität mit unterschiedlichen Kopplungsbedingungen der beiden Skalen und linearen sowie quadratischen Ansatzfunktionen. ii) Vergleich der Heterogenen Multiskalen Finite Elemente Methode mit der FE²-Methode. Obwohl beide Methoden auf unterschiedlichen Ansätzen beruhen, konnte anhand zahlreicher Beispiele die quantitative Übereinstimmung der Ergebnisse gezeigt werden, sodass die a priori Konvergenzaussagen auch auf die FE²-Methode übertragen werden können. iii) Während sich üblicherweise in der Literatur die Fehleranalysen mit dem Fehler auf der Makroskala beschäftigen, erfolgte in dieser Arbeit zusätzlich eine Untersuchung der Fehler auf der Mikroskala. Hierfür wurde zwischen dem Diskretisierungsfehler und einem Auflösungsfehler, der die Auflösung der Mikroskala berücksichtigt, unterschieden. iv) Eine Untersuchung der Fehlerschätzung auf der heterogenen Mikroskala lieferte einen angepassten Fehlerschätzer-Algorithmus mit dem sich die Qualität der Fehlerschätzung auf der Mikroskala deutlich verbessern lässt. v) Unterschiedliche adaptive und uniforme Netzvergröberungsalgorithmen, die als Preprocessor zur Reduktion der Freiheitsgrade der Mikroskala eingesetzt werden können, wurden anhand ihrer Auswirkungen auf den Diskretisierungs- und den Auflösungsfehler untersucht. vi) Um den hohen numerischen Aufwand nicht-linearer Zwei-Skalen Probleme, der sich durch die wiederholte Lösung von verschachtelten Makro- und Mikrogleichungssystemen ergibt, zu reduzieren, wurde ein neuer Lösungsalgorithmus eingeführt, der die Berechnungen deutlich beschleunigen kann.Numerical homogenization includes methods for solving multiscale problems. The goal here is to solve the underlying problem on a macroscale, taking into account the influence of a heterogeneous microscale. Numerical homogenization methods thus provide a better understanding of the macroscopic problem while at the same time reducing the numerical effort compared to a complete analysis of the microscale. The Finite Element Heterogeneous Multiscale Method is one of these numerical homogenization methods and, through a complete a priori error analysis, provides a new and at the same time significant contribution to numerical homogenization by two-scale finite element methods. In this work and the publications on which it is based, the implementation of the Finite Element Heterogeneous Multiscale Method for vector-valued problems in the field of elasticity was described and numerous other aspects were examined. These include i) Confirmation of the a priori convergence statements for linear elasticity using numerous examples with different regularity with different coupling conditions of the two scales and linear and quadratic shape functions. ii) Comparison of the Finite Element Heterogeneous Multiscale Method with the FE² method. Although both methods are based on different approaches, the quantitative agreement of the results was shown using numerous examples, so that the a priori convergence statements can also be transferred to the FE² method. iii) While error analyzes in the literature usually deal with errors on the macroscale, this work also examined errors on the microscale. For this purpose, a distinction was made between the discretization error and a resolution error that takes the resolution of the microscale into account. iv) An investigation of the error estimation on the heterogeneous microscale provided an adapted error estimator algorithm with which the quality of the error estimation on the microscale can be significantly improved. v) Different adaptive and uniform mesh coarsening algorithms that can be used as a preprocessor to reduce the microscale degrees of freedom were examined based on their effects on the discretization and resolution errors. vi) In order to reduce the high numerical effort of non-linear two-scale problems, which results from the repeated solution of nested macro and micro equation systems, a new solution algorithm was introduced that can significantly speed up the calculations.de620 Ingenieurwissenschaften und zugeordnete TätigkeitenNumerische HomogenisierungNumerical HomogenizationMikroheterogene MaterialienZwei-Skalen Finite Elemente MethodenMicro-Heterogeneous MaterialsTwo-Scale Finite Element MethodsFinite Element Heterogeneous Multiscale MethodDoctoral ThesisBernhard Eidelurn:nbn:de:hbz:467-72419