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The thesis consists of eight articles that have been published recently in various scientific journals. It contains contributions to the theory and statistics of max-stable processes including their representation (Chapter 2), likelihood-based inference (Chapter 3), unconditional simulation (Chapters 4, 5 and 6) and conditional simulation with applications to downscaling and statistical post-processing (Chapters 7. 8 and 9). Brief overviews over the main results in these areas and the author's contributions will be given in an introductory chapter.

Background: Causal inference has seen an increasing popularity in medical research. Estimation of causal effects from observational data allows to draw conclusions from data when randomized controlled trials cannot be conducted. Although the identification of structural causal models (SCM) and the calculation of structural coefficients has received much attention, a key requirement for valid causal inference is that conclusions are drawn based on the true data-generating model. Methods: It remains widely unknown how large the probability is to reject the true structural causal model when observational data from it is sampled. The latter probability – the causal false-positive risk – is crucial, as rejection of the true causal model can induce bias in the estimation of causal effects. In this paper, the widely used causal models of confounders and colliders are studied regarding their causal false-positive risk in linear Markovianmodels. A simulation study is carried out which investigates the causal false-positive risk in Gaussian linear Markovian models. Therefore, the testable implications of the DAG corresponding to confounders and colliders are analyzed from a Bayesian perspective. Furthermore, the induced bias in estimating the structural coefficients and causal effects is studied. Results: Results show that the false-positive risk of rejecting a true SCM of even simple building blocks like confounders and colliders is substantial. Importantly, estimation of average, direct and indirect causal effects can become strongly biased if a true model is rejected. The causal false-positive risk may thus serve as an indicator or proxy for the induced bias. Conclusion: While the identification of structural coefficients and testable implications of causal models have been studied rigorously in the literature, this paper shows that causal inference also must develop new concepts for controlling the causal false-positive risk. Although a high risk cannot be equated with a substantial bias, it is indicative of the induced bias. The latter fact calls for the development of more advanced risk measures for committing a causal type I error in causal inference.

Typical situations in research include the comparison of two groups regarding a metric variable, in which case usually the two-sample t-test is applied. While common frequentist two-sample t-tests focus on the difference of means of both groups via a p-value, the quantity of interest in applied research most often is the effect size. Existing Bayesian alternatives of the two-sample t-test replace frequentist significance thresholds like the p-value with the Bayes factor, taking the same testing stance. The R package bayest implements a Markov-Chain-Monte-Carlo algorithm to conduct a Bayesian two-sample t-test which estimates the effect size between two groups, while also providing detailed visualization and analysis of all parameters of interest. Because of its focus on the ease of use and interpretability, clinicians and other users can run this t-test within a few lines of code and find out if differences between two groups are scientifically meaningful, instead of significant.

Wilhelm Fiedler (1832–1912) war Professor an den polytechnischen Schulen in Prag und Zürich, der heutigen ETH. Er vertrat das Fach darstellende Geometrie, dem damals in der Ausbildung zukünftiger Ingenieure eine Schlüsselrolle zukam. Aber seine Sicht der darstellenden Geometrie war viel umfassender: Die gesamte Geometrie sollte darstellend werden. In Zürich bildete Fiedler auch zukünftige Fachlehrer aus und entwickelte mit seiner Konzeption der Geometrie und ihres Unterrichts einen nachhaltigen Einfluss auf das höhere Schulwesen seiner Wahlheimat, der auch außerhalb der Schweiz breit wahrgenommen wurde. Fiedler korrespondierte mit sehr vielen Partnern in der Fachwelt, seine erhaltene und im Archiv der ETH aufbewahrte Korrespondenz umfasst ca. 1.800 Briefe. Im vorliegenden Band wird erstmals hieraus eine größere Auswahl veröffentlicht. In den abgedruckten Briefen geht es u.a. um den Kampf für die Geometrie, die in der zweiten Hälfte des 19. Jhs. vor allem an den Universitäten an Bedeutung verlor, um Aufbau und Funktion eines technisch-gewerblichen Bildungswesens, eine Aufgabe, die in Italien nach der Vereinigung drängend war, um Netzwerke und Stellenbesetzungen, aber auch um einige große politische Ereignisse der zweiten Hälfte des 19. Jhs. wie den deutschen Krieg von 1866 und die Einigungen von Deutschland und Italien. Es entsteht so ein authentisches Bild, das unsere Auffassung von der Entwicklung der Mathematik in der zweiten Hälfte des 19. Jhs. wesentlich bereichert und korrigiert und Informationen aus erster Hand zu einigen wichtigen Akteuren der mathematischen Gemeinschaft jener Zeit liefert.

In this thesis we develop CompilerForCAP, a compiler for optimizing and verifying categorical towers in algorithmic category theory. To see the need for a compiler, we start with some setup: First, we show how algorithmic category theory can be interpreted as a high-level programming language, and introduce the software framework CAP: Categories, Algorithms, and Programming. Moreover, we introduce programming conventions which allow us to prove that categorical algorithms written in CAP are faithful to the mathematics done on paper. Next, we introduce the concept of categorical towers, which has been used before to make constructions in categories algorithmic. We will see that computations in categorical towers naturally come with a sizeable performance overhead. This shows the need for a compiler like CompilerForCAP. Afterwards, we present various applications of categorical towers exhibiting the advantages of the approach. The two main applications are the computation of lifts in categories of finitely presented modules over certain rings and algorithms for the closed monoidal structure of the category of ZX-diagrams, a category appearing in quantum computing. As an application, we use the category of ZX-diagrams to model a foundational functional programming language for quantum computers. Afterwards, we see in detail how CompilerForCAP can optimize the categorical towers in the presented applications and provide benchmarks showing the performance gains in concrete computations. As we will see, CompilerForCAP can make the difference between "finishes in seconds" and "will never finish". The central mechanism that makes these optimizations possible are reinterpretations of categorical towers, which allow to simplify the data structures of categorical towers. Finally, we show that CompilerForCAP can also be used as a proof assistant for verifying categorical implementations. In summary, CompilerForCAP can generate efficient and verified implementations, allowing us to make full use of the advantages of building categorical towers on a computer.

In this thesis we establish a constructive framework for homological algebra with a special focus on (complete) strong exceptional sequences in bounded homotopy categories and their induced exact equivalences, alongside with a CAP and homalg based implementation of this framework in the computer algebra system GAP. First, we assemble the key concepts in homological algebra in a constructive style that is suitable for a direct computer implementation. This includes constructing bounded complexes, homotopy and derived categories in which we can perform computations like projective and injective resolutions of bounded complexes and derived functors. Then, we set the stage for performing computations in triangulated categories. This is accomplished by stating all the existential quantifiers and disjunctions in the defining axioms of a triangulated category as concrete algorithms. The two primary examples of a triangulated category in this thesis are the stable category of a Frobenius category and the bounded homotopy category of an additive category. Given a field k, a k-linear Hom-finite additive category 𝓒 and a strong exceptional sequence 𝓔 in the bounded homotopy category 𝓚ᵇ(𝓒), we develop an algorithm to check the membership of objects in the triangulated hull 𝓔^△ ⊆ 𝓚ᵇ(𝓒). In particular, if 𝓚ᵇ(𝓒) is finitely generated as a triangulated category, one can employ that to algorithmically decide the completeness of the strong exceptional sequence 𝓔, i.e., decide whether 𝓔^△=𝓚ᵇ(𝓒). For a complete strong exceptional sequence 𝓔, we use the so-called Postnikov systems to provide an explicit construction of exact equivalences 𝓓ᵇ(End(T_𝓔)) ≃ 𝓚ᵇ(𝓔^⊕) ≃ 𝓚ᵇ(𝓒) where T_𝓔 ≔ E₁⊕⋯⊕Eₙ,Eᵢ∈ 𝓔, 𝓓ᵇ(End(T_𝓔)) denotes the bounded derived category of the category End(T_𝓔)-mod of finitely generated End(T_𝓔)-modules, and 𝓔^⊕ is the universal additive closure category of 𝓔. These techniques enable us to make the following special case of Happel's theorem for derived equivalences constructive: Let 𝔸 be a finite dimensional k-algebra and T a tilting 𝔸-module whose indecomposable summands form a complete strong exceptional sequence in 𝔸-mod. Then we can compute the induced adjoint derived equivalences -⊗^𝕃 T : 𝓓ᵇ(End(T)) ⇄ 𝓓ᵇ(𝔸): ℝHom(T,-) The categorical framework along with all algorithms presented in this thesis are implemented in the GAP meta-package HigherHomologicalAlgebra.

Im Südwestfalen Regionale 2025 Projekt "DigiMath4Edu" wird die (Weiter-)Entwicklung professioneller Kompetenzen von Mathematiklehrerinnen und Mathematiklehrern insbesondere im Bereich der Anwendung digitaler Medien beispielhaft an 15 Schulen über drei Jahre durch die Universität Siegen begleitet. Anstelle eines Fortbildungsprogramms mit punktuellen Impulsen, findet im Projekt eine kontinuierliche Unterstützung in den Schulen statt. Der vorliegende Band stellt 25 Unterrichtsskizzen der beteiligten Lehrerinnen und Lehrer aus den fünf Schulen des ersten Projektjahres zusammen und lädt dazu ein, die Ideen für den eigenen Mathematikunterricht aufzugreifen und umzusetzen.

Im Südwestfalen Regionale 2025 Projekt DigiMath4Edu wird die (Weiter-)Entwicklung professioneller Kompetenzen von Mathematiklehrerinnen und Mathematiklehrern insbesondere im Bereich der Anwendung digitaler Medien beispielhaft an 15 Schulen über drei Jahre durch die Universität Siegen begleitet. Anstelle eines Fortbildungsprogramms mit punktuellen Impulsen, findet im Projekt eine kontinuierliche Unterstützung in den Schulen statt. Der vorliegende Band stellt 25 Unterrichtsskizzen der beteiligten Lehrerinnen und Lehrer aus den fünf Schulen des zweiten Projektjahres zusammen und lädt dazu ein, die Ideen für den eigenen Mathematikunterricht aufzugreifen und umzusetzen.

Im Südwestfalen Regionale 2025 Projekt DigiMath4Edu wird die (Weiter-)Entwicklung professioneller Kompetenzen von Mathematiklehrerinnen und Mathematiklehrern insbesondere im Bereich der Anwendung digitaler Medien beispielhaft an 15 Schulen über drei Jahre durch die Universität Siegen begleitet. Anstelle eines Fortbildungsprogramms mit punktuellen Impulsen, findet im Projekt eine kontinuierliche Unterstützung in den Schulen statt. Der vorliegende Band stellt 25 Unterrichtsskizzen der beteiligten Lehrerinnen und Lehrer aus den fünf Schulen des dritten Projektjahres zusammen und lädt dazu ein, die Ideen für den eigenen Mathematikunterricht aufzugreifen und umzusetzen.

Unter Dualitätstheorie in der Funktionalanalysis verstehen wir im Allgemeinen, lineare stetige Funktionale zu untersuchen, um damit Informationen über den zugrunde liegenden Raum selbst zu erhalten. Entwicklungsschritte zu dieser Dualitätstheorie waren: Das erste Auftreten zweier unterschiedlicher dualer Funktionenräume in der Funktionalanalysis: Riesz’ ”zugeordnete Klassen“. Eine allgemeine Norm für lineare Folgenräume und die dazu duale Norm: Hellys Polaritätskonzept. Schließlich der Gedanke, einen Dualraum aus Funktionalen statt aus Funktionen zu bilden: Hellys und Hahns Einführung des ”polaren Raums“. Diese überaus spannende Entwicklung in der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts wird in dieser Arbeit anhand einer gründlichen begrifflichen Analyse dargestellt. Dabei stößt man immer wieder auf die parallel verlaufende Geometrisierung, also auf die Einführung geometrischer Begriffe für Funktionen(mengen). Darüber hinaus wird die Entwicklung von Ansätzen einer Dualitätstheorie bei Räumen, die nicht notwendigerweise mit einer Norm ausgestattet sind, vorgestellt, sowie die mit der Entwicklung dualer Räume eng verbundene Entwicklung dualer Operatoren.