Borders of the probabilistic symbol, time-inhomogeneity, and generalized semimartingales

Abstract

When investigating semimartingales, both the characteristics and the probabilistic symbol play important roles. They allow for the analysis of various significant properties and, in some cases, the characterization of the underlying process. For instance, the symbol, which is related to the right derivative of the characteristic function of the one-dimensional marginals, of a Lévy process, coincides with the characteristic exponent, and for Feller processes with the symbol of the operator. The most general class for which the symbol exists is Itô processes. In this thesis, we show that within the class of Hunt semimartingales, Itô processes are precisely those for which the probabilistic symbol exists. Furthermore, we point out that the applicability of the symbol can be lost for processes that are not Hunt semimartingales, even if the symbol exists. Investigating beyond time-homogeneity, we add a time component to the symbol to analyze non-homogeneous processes. We show the existence of such a time-dependent symbol for non-homogeneous Itô processes. Additionally, for this class of processes, we derive maximal inequalities, which we apply to extend the Blumenthal-Getoor indices to the non-homogeneous case. These allow for the derivation of various properties concerning the paths of the process. Lastly, we generalize semimartingales by introducing a `point of no return' or `killing point', as known in the Markovian context, within this framework. To this end, the development of a new characteristic to describe this phenomenon is required. We present a theory concerning these generalized semimartingales by extending some of the most important classical results with the help of the new characteristic, and integrate the probabilistic symbol into this context. Additionally, we present a natural way in which a killing can occur in the semimartingale framework.

Bei der Untersuchung von Semimartingalen spielen sowohl deren Charakteristiken als auch das probabilistische Symbol eine wichtige Rolle, denn sie ermöglichen nicht nur die Analyse verschiedener wichtiger Eigenschaften, sondern in einigen Fällen auch die Charakterisierung des zugrunde liegenden Prozesses. Beispielsweise stimmt das Symbol bei Lévyprozessen mit dem jeweiligen charakteristischen Exponenten überein und bei Feller-Prozessen mit dem Symbol des Operators. Die allgemeinsten Prozesse, für die das Symbol existiert, sind Itô-Prozesse. In dieser Arbeit zeigen wir, dass das probabilistische Symbol eines Hunt-Semimartingals genau dann existiert, wenn der betrachtete Prozess ein Itô-Prozess ist. Darüber hinaus führen wir aus, warum das Symbol für Prozesse, die keine Hunt-Semimartingale sind, seine Anwendbarkeit verliert. Lässt man die zeitliche Homogenität der bis zu diesem Zeitpunkt betrachteten Prozesse hinter sich, müssen wir dem Symbol, um auch zeitlich inhomogene Prozesse analysieren zu können, eine Zeitkomponente hinzufügen. Wir zeigen die Existenz eines solchen zeitabhängigen Symbols für inhomogene Itô-Prozesse und leiten für diese Klasse von Prozessen Maximal-Ungleichungen her, die wir anwenden, um die so genannten Blumenthal-Getoor-Indizes auf den inhomogenen Fall zu erweitern. Diese wiederum ermöglichen die Ableitung verschiedener Pfadeigenschaften des Prozesses. Schließlich verallgemeinern wir Semimartingale durch die Einführung eines sogenannten "Killing Point", wie er im Markov-Kontext bereits bekannt ist. Dies erfordert die Einführung einer neuen Semimartingal-Charakteristik zur Beschreibung des genannten Phänomens. Wir stellen eine Theorie dieser verallgemeinerten Semimartingale vor, indem wir einige der wichtigsten klassischen Ergebnisse mit Hilfe der neuen Charakteristik verallgemeinern. Außerdem stellen wir eine natürliche Art und Weise vor, wie so ein "Killing Point" im Kontext von Semimartingalen auftreten kann.