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Dokument Type: Doctoral Thesis
Title: Parallel evaluation of algebraic circuits
Paralleles Auswerten algebraischer Schaltkreise
Authors: König, Daniel 
Institute: Institut für Theoretische Informatik 
Free keywords: Algorithmische Algebra, Combinatorial group theory, Parallel algorithms
Dewey Decimal Classification: 004 Informatik
GHBS-Clases: TCW
TEN
TUH
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TVIG
Issue Date: 2017
Publish Date: 2017
Abstract: 
The circuit evaluation problem for various finitely generated algebraic structures is studied. More
precisely, for various rings, finite and infinite semirings, groups, and polynomial rings the complexity
of circuit evaluation is investigated. The focus is on parallel complexity classes like NC or
DET resp., the randomized parallel complexity class coRNC.
For the ring (Z,+,*) it is known that circuit evaluation is in the randomized complexity class
coRP. We show that under the assumption that the circuit has a constant bound for its multiplication
depth circuit evaluation for (Z,+,*) is complete for the class C=L. If instead, we assume
that the formal degree of the circuit is polynomially bounded, then circuit evaluation for (Z,+,*)
is complete for the class C=LogCFL.
For circuits over the polynomial ring (Z[x_1,...,x_k],+,*), where k is part of the input, circuit
evaluation is also known as polynomial identity testing and again the best known upper bound for
this problem is coRP. Under the assumption that the circuit is skew, it is known that the problem
is in coRNC. For skew circuits over (Z[x_1,...,x_k],+,*) with fixed k we show that circuit evaluation
is in C=L. The more general powerful skew circuits are introduced. These are skew circuits with
variables where input gates can be labeled by powers x^n for binary encoded numbers n. It is shown
that polynomial identity testing for powerful skew circuits belongs to coRNC2 which generalizes
the corresponding result for skew circuits. Two applications of this result are presented:
(i) Equivalence of higher-dimensional straight-line programs can be tested in coRNC2; this result
is even new in the one-dimensional case, where the straight-line programs produce strings.
(ii) The circuit evaluation problem for certain wreath products of finitely generated abelian groups
belongs to coRNC2.
For finitely generated linear groups, the best upper bound for circuit evaluation is again coRP,
which was shown by a reduction to polynomial identity testing. Conversely, circuit evaluation
for the linear group SL_3(Z) is equivalent to polynomial identity testing. In this work, it is shown
that circuit evaluation for every finitely generated nilpotent group is in DET. Within the
larger class of polycyclic groups we find examples where circuit evaluation is at least as hard as
polynomial identity testing for powerful skew circuits.
For finite semirings where semirings are not assumed to have an additive or multiplicative
identity, the following dichotomy is shown: if a finite semiring is such that (i) the multiplicative
semigroup is not solvable or (ii) it does contain a subsemiring with an additive identity 0 and a
multiplicative identity 1 not equal to 0, then the circuit evaluation problem for the semiring is P-complete.
In all other cases, the circuit evaluation problem is in DET.
An extension of the circuit evaluation problem to circuits over power sets is the circuit intersection
problem where circuits with additional union gates over the power set of a structure
are considered. We show that for a finite semiring S circuit intersection is in DET if S is a solvable
local group. Otherwise it is P-complete. It is known that circuit intersection for the ring
(Z,+,*) is NEXPTIME-complete. We use this to show that also for the linear group SL_5(Z) circuit
intersection is NEXPTIME-complete.
At the beginning of this thesis we show for the more classical word problem that this problem for
an infinite finitely generated linear group G is DLOGTIME-uniform TC0-complete if G is solvable
and that it is in DLOGTIME-uniform NC1 if G is virtually solvable.

Das Auswertungsproblem für algebraische Schaltkreise für verschiedene endlich erzeugte algebraische
Strukturen wird bezüglich seiner Komplexität untersucht. Genauer gesagt wird dieses Problem
für verschiedene Ringe, endliche und unendliche Semiringe, Gruppen und Polynomringe betrachtet.
Hierbei liegt der Fokus auf parallelen Komplexitätsklassen wie NC oder DET sowie auf der
Komplexitätsklasse der Komplemente der randomisiert effizient parallelisierbaren Probleme coRNC.
Bekanntermaßen liegt das Auswertungsproblem für Schaltkreise über dem Ring (Z,+,*) in der
Komplextitätsklasse coRP, also der Klasse der Komplemente der in randomisierter Polynomialzeit
lösbaren Probleme. Es wird gezeigt, dass unter der Annahme, dass die multiplikative Tiefe des
Schaltkreises durch eine Konstante beschränkt ist, das Auswerten von Schaltkreisen vollständig für
die Klasse C=L ist. Nimmt man hingegen an, dass der formale Grad des Schaltkreises über (Z,+,*)
polynomiell beschr änkt ist, so erhält man Vollständigkeit für die Klasse C=LogCFL.
Für Schaltkreise über dem Polynomring (Z[x_1,..., x_k],+,*), wobei das k Teil der Eingabe ist,
liegt das Schaltkreisauswertungsproblem ebenfalls in der Klasse coRP. Unter der Annahme, dass für
jedes Multiplikationsgatter eines der beiden Eingangsgatter ein Eingangsgatter des gesamten Schaltkreises
ist (sog. schiefe Schaltkreise), weiß man, dass das Problem in der Klasse coRNC liegt. Es wird
gezeigt, dass mit der zusätzlichen Annahme, dass k konstant ist, das Auswerten von Schaltkeisen
in C=L liegt. Etwas mehr Ausdruckskraft besitzt eine neu eingeführte Klasse von Schaltkreisen, bei
der wir voraussetzen, dass eines der beiden Eingangsgatter eines multiplikativen Gatters von der
Form x^n ist und n als binär kodierte Zahl gegeben ist. Wir bezeichnen diese Schaltkreise als kraftvoll
schief. Für diesen Fall wird gezeigt, dass das Schaltkreisauswertungsproblem ebenfalls in coRNC
liegt. Dieses Ergebnis wird genutzt, um zwei Anwendungen zu zeigen: Einerseits wird gezeigt, dass
das Äquivalenzproblem für mehrdimensionale Straight-line programs in coRNC lösbar ist, was selbst
für den eindimensionalen Fall ein neues Ergebnis liefert. Außerdem zeigen wir, dass das Auswertungsproblem
für Schaltkreise über bestimmten Kranzprodukten von endlich erzeugten abelschen Gruppen ebenfalls in coRNC liegt.
Für endlich erzeugte lineare Gruppen liegt die beste bisher bekannte obere Schranke für das
Auswertungsproblem von Schaltkreisen erneut bei coRP, was mit Hilfe einer Reduktion auf das
Auswerten von Schaltkreisen über (Z,+,*) gezeigt wurde. Auf der anderen Seite konnte gezeigt
werden, dass das Schaltkreisauswertungsproblem für die lineare Gruppe SL_3(Z) und für (Z,+,*)
äquivalent zueinander sind. In dieser Arbeit wird gezeigt, dass das Auswerten von Schaltkreisen
für endlich erzeugte nilpotente Gruppen in DET liegt. Weiterhin wird gezeigt, dass es in
der größeren Klasse der polyzyklischen Gruppen eine Gruppe gibt, deren Auswertungsproblem für
Schaltkreise mindestens so schwer ist wie für kraftvoll schiefe Schaltkreise über (Z[x_1,...,x_k],+,*).
Für endliche Semiringe, wobei in einem Semiring weder ein multiplikativ noch ein additiv neutrales
Element verlangt wird, wird die folgende Zweiteilung gezeigt: Besitzt der Semiring ein multiplikativ
neutrales und ein von diesem verschiedenes additiv neutrales Element oder ist die multiplikative
Halbgruppe des Semirings nicht auflösbar, so ist das Schaltkreisauswertungsproblem vollständig für
die Klasse P. In allen anderen Fällen liegt es in der Klasse DET.
Eine Erweiterung des Auswertungsproblems für Schaltkreise ist das Schnittproblem für Schaltkreise.
Dieses agiert auf den Potenzmengen von algebraischen Strukturen und fragt für Schaltkreise
über diesen zusammen mit Vereinigungsgattern, ob der Durchschnitt zweier durch Schaltkreise repräsentierter Mengen leer ist. Es wird gezeigt, dass dieses Problem für eine endliche Halbgruppe in DET liegt, wenn es sich um eine lokale Gruppe handelt. Ansonsten ist das Problem vollständig für P.
Zusätzlich wird gezeigt, dass dieses Problem für die lineare Gruppe SL_5(Z) NEXPTIME-volständig
ist.
Zu Beginn dieser Arbeit wird das klassische Wortproblem für endlich erzeugte Gruppen betrachtet.
Es wird gezeigt, dass für eine endlich erzeugte lineare Gruppe das Wortproblem vollständig für
DLOGTIME-uniforme TC0-Schaltkreise ist, falls die Gruppe auflösbar ist. Ist sie hingegen virtuell auflösbar, so liegt das Wortproblem in DLOGTIME-uniformem NC1.
URN: urn:nbn:de:hbz:467-11937
urn:nbn:de:hbz:467-11937
URI: https://dspace.ub.uni-siegen.de/handle/ubsi/1193
License: https://dspace.ub.uni-siegen.de/static/license.txt
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