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Dokument Type: Doctoral Thesis
Title: Grid points and generalized discrepancies on the d-dimensional ball
Authors: Ishtiaq, Amna 
Institute: Fakultät IV Naturwissenschaftlich-Technische Fakultät 
Free keywords: Inverse problems (Differential equations), Discrepancy method, Quadrature points, Sphere
Dewey Decimal Classification: 510 Mathematik
GHBS-Clases: TBU
TIL
TLO
Issue Date: 2018
Publish Date: 2018
Abstract: 
The problem of distributing points on a domain, like ball, plays a special
role in the fields like geosciences and medical imaging. Therefore, we present
an equidistribution theory with a focus on obtaining low-discrepancy point
grids on a 3-dimensional ball.
The connection of the discrepancy method and the quadrature points on a
given domain is quite well known. We approximate the integral of a function
given on a bounded domain by the sum of function values at a specific set of
points together with some weights. The idea is to get the best approximation
with the fewest possible function values. The ansatz is logical, if the chosen
data set is well distributed on the whole domain. This perspective, with the
ball as a domain, enables us to get nice configurations as well as suitable
approximations to the integrals of functions on the ball.
It is, for instance, important for choosing the centres of the radial basis
functions as they are needed for regularization methods such as the RFMP
algorithm and the ROFMP algorithm, developed by the Geomathematics
Group at the University of Siegen for ill-posed inverse problems with particular
focus on the sphere and the ball as domains of the unknown functions.
Additionally, it is also important for computational purposes. For instance,
for the wavelet methods with data given on the ball, where one needs to have
an appropriate quadrature rule.

Das Problem, Punkte auf einem Bereich, wie einer Kugel, zu verteilen, spielt
eine wichtige Rolle in den Geowissenschaften und der medizinischen Bildgebung.
Deshalb präsentieren wir eine Gleichverteilungstheorie auf der 3DKugel
in Bezug auf Minimum-Diskrepanz-Gitter. Der Zusammenhang zwischen
Diskrepanz und Punktgittern für gegebene Bereiche ist wohlbekannt.
Hierbei wird das Integral einer Funktion durch eine gewichtete Summe von
Funktionswerten approximiert. Die Idee besteht darin, die beste Annäherung
mit möglichst wenigen Funktionswerten zu erzielen. Der Ansatz ist klar,
wenn die gewählten Punkte in dem gesamten Bereich gut verteilt sind. Diese
Perspektive, mit dem Ball als Bereich, ermöglicht es uns, "schöne" Strukturen
sowie geeignete Näherungen an die Integrale von Funktionen auf der
Kugel zu erhalten. Zum Beispiel ist es wichtig, die Mittelpunkte der radialen
Basisfunktionen auszuwählen, weil diese für Regularisierungsmethoden
wie den RFMP-Algorithmus und den ROFMP-Algorithmus benötigt werden.
Diese Algorithmen wurden von der AG Geomathematik der Universität
Siegen für schlecht gestellte inverse Probleme mit besonderem Fokus auf die
Sphäre und die Kugel als Definitionsbereiche entwickelt. Darüber hinaus
sind solche Gitter auch für andere numerische Zwecke hilfreich, wie z.B. für
Wavelet-Verfahren auf der Kugel, die ein Quadraturgitter brauchen.
URN: urn:nbn:de:hbz:467-13733
URI: https://dspace.ub.uni-siegen.de/handle/ubsi/1373
License: https://dspace.ub.uni-siegen.de/static/license.txt
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