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Dokument Type: Doctoral Thesis
metadata.dc.title: The interplay between quantum entanglement, coherence, and convex optimization
Other Titles: Das Zusammenspiel zwischen Quantenverschränkung, Kohärenz und konvexer Optimierung
Authors: Simnacher, Timo Yannick 
Institute: Department Physik 
Free keywords: Quantum information, Entanglement, Convex optimization, Semidefinite programming, Coherence
Dewey Decimal Classification: 530 Physik
GHBS-Clases: UHEQ
UHED
Issue Date: 2021
Publish Date: 2021
Abstract: 
In this thesis, we strive to advance the knowledge of relations between convex optimization
and the quantum phenomena entanglement and coherence. The main research
areas we explore are rank-constrained semidefinite programming, the quantum
pure-state marginal problem and the existence of AME states as well as quantum
codes, entanglement detection, and the certification of quantum memories with coherence.

First, we start with real and complex rank-constraint semidefinite optimization problems
and rephrase them as an optimization over separable two-copy states. This reformulation
allows to approach the problem through a hierarchy of efficiently solvable
semidefinite programs that provide better and better certified bounds. We apply the
new technique to various problems in quantum information theory and beyond, such
as the optimization over pure states or unitary channels and the well-known maximum
cut problem. Furthermore, we describe an inherent symmetry in our formulation that
significantly improves the performance.

Second, we consider the application of our method to the quantum pure-state marginal
problem. In particular, we prove that the existence of n-partite absolutely maximally
entangled states with local dimension d is equivalent to the bipartite separability of a
certain state of 2n particles, and we compute that state explicitly. This application is a
striking example of how symmetries can simplify semidefinite programs and we use
them to compute high orders of our hierarchy despite the rapidly increasing dimension.
Moreover, we rewrite the existence problem of quantum error-correcting codes
as a marginal problem making our method also applicable to this area of research.

Third, since entanglement is not only a theoretically interesting phenomenon, but also
a vital resource for quantum information protocols, we investigate entanglement detection
in practical experiments. We examine scrambled data, a scenario in which the
mapping between outcomes and their respective probabilities is lost. Furthermore, we
use the joint numerical range of observables to find measurements that allow entanglement
detection even when the confidence region due to statistical and systematic
errors is large.

Finally, we introduce a quality measure for quantum memories that quantifies the
performance based on the memory’s ability to preserve coherence. Remarkably, this
measure also distinguishes entanglement-breaking channels from genuine quantum
memories. For the case of single-qubit channels, we find various theoretical bounds
and a simple measurement scheme to approximate our performance measure.

Mit dieser Dissertation wollen wir das Verständnis der Zusammenhänge zwischen
konvexer Optimierung und der Quantenphänomene Verschränkung und Kohärenz
erweitern. Die Hauptforschungsgebiete, die wir erkunden, sind rangbeschränkte semidefinite
Programmierung, das Marginalproblem reiner Quantenzustände und die
Existenz von AME-Zuständen sowie Quantencodes, Verschränkungsdetektion und die
Zertifizierung von Quantenspeichern mittels Kohärenz.

Als erstes beschäftigen wir uns mit reellen und komplexen rangbeschränkten semidefiniten
Optimierungsproblemen und formulieren diese als Optimierung über separierbare
Zwei-Kopien-Zustände um. Das erlaubt es, mittels einer Hierarchie effizient lösbarer
semidefiniter Programme immer bessere zertifizierte Schranken zu berechnen.
Wir wenden die Methode auf verschiedene Probleme in der Quanteninformationstheorie
an, wie etwa die Optimierung über reine Zustände oder unitäre Kanäle und
das Problem des maximalen Schnitts eines Graphen. Außerdem beschreiben wir eine
inhärente Symmetrie unserer Formulierung, die die Komplexität erheblich verringert.

Dann wenden wir unsere Methode auf das Marginalproblem reiner Quantenzustände
an. Insbesondere beweisen wir, dass die Existenz n-partiter absolut maximal verschränkter
Zustände mit lokaler Dimension d äquivalent zu der bipartiten Separierbarkeit
eines bestimmten 2n-Teilchenzustands ist, den wir explizit berechnen. Das zeigt
eindrucksvoll, wie Symmetrien semidefinite Programme vereinfachen können, sodass
hohe Ordnungen unserer Hierarchie trotz rasch steigender Dimension berechenbar
sind. Ferner formulieren wir das Existenzproblem von Quantenfehlerkorrekturcodes
als Marginalproblem, sodass unsere Methode auch hierfür anwendbar wird.

Da Verschränkung nicht nur theoretisch interessant ist, sondern auch eine essentielle
Ressource für Quanteninformationsprotokolle, erforschen wir anschließend deren
Detektion in der Praxis. Wir untersuchen ein Szenario, bei dem die Zuordnung von
Messergebnissen zu den entsprechenden Wahrscheinlichkeiten unklar ist. Außerdem
nutzen wir das gemeinsame numerische Bild von Observablen, um Messungen zu
finden, die Verschränkungsdetektion selbst dann ermöglichen, wenn die Konfidenzregion
aufgrund statistischer und systematischer Fehler relativ groß ist.

Abschließend stellen wir ein Qualitätsmaß für Quantenspeicher vor, das die Leistungsfähigkeit
auf Basis von Kohärenzerhaltung misst. Bemerkenswerterweise differenziert
das Maß auch zwischen verschränkungszerstörenden Kanälen und echten Quantenspeichern.
Für Ein-Qubit-Kanäle beschreiben wir theoretische Schranken und einfache
Messungen, um das Maß näherungsweise zu bestimmen.
DOI: http://dx.doi.org/10.25819/ubsi/9981
URN: urn:nbn:de:hbz:467-19677
URI: https://dspace.ub.uni-siegen.de/handle/ubsi/1967
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