Data-driven finite element computation with material uncertainty

Abstract

Datengetriebene Methodiken ziehen immer mehr Aufmerksamkeit auf sich. Die im 21. Jahrhundert eingeläutete „datenreiche“ Welt mit immer größeren und unübersichtlicheren Datenmengen lenkt das Interesse auf die Verarbeitung der Datensätze. Nach und nach erhalten datengetriebene Rechnungen auch in den Naturwissenschaften Einzug. In der numerischen Mechanik werden solche Methodiken insbesondere für das Beschreiben des Materialverhaltens genutzt. Normalerweise muss das Verhalten über Experimente charakterisiert und anschließend an Modelle angepasst werden. Auf den zweiten Schritt kann verzichtet werden, wenn man in der Lage ist, die aus den Experimenten erhaltenen Daten direkt in der Rechnung zu verwenden. Diese Methodik wurde 2016 von Trenton Kirchdoerfer und Michael Ortiz für die Finite-Elemente-Methode vorgestellt und soll in dieser Arbeit weiterverfolgt werden. Zunächst wird die sogenannte „datengetriebene Finite-Elemente-Methode“ hinsichtlich ihrer unterschiedlichen Inputparameter untersucht. Es stellt sich heraus, dass das Verfahren sehr robust gegenüber Schwankungen der numerischen Steifigkeit ist, die Datenmenge aber essentiell für die Qualität der Lösung ist. Mit Blick auf die Datenmenge wird dann untersucht, wie geeignet diese Methodik dazu ist, Materialunsicherheiten zu implementieren. Dazu werden die datengetriebenen Rechnungen mit Daten durchgeführt, die aus stochastischen Feldern generiert werden. Um den numerischen Mehraufwand der datengetriebenen Rechnung zu begrenzen wird ein Verfahren vorgestellt, dass mittels einer mehrstufigen Rechnung in der Lage ist, den numerischen Aufwand zu verringern. Anstatt einer Simulation mit der kompletten Datenmenge, wird auf mehrere Simulationen mit kleinen, adaptiven Datenmengen gesetzt. Um die komplexe experimentelle Generierung drei-dimensionaler Daten zu umgehen wird eine Methodik vorgestellt, wie Daten aus numerischen Rechnungen, hier am Beispiel eines repräsentativen Volumenelements, gewonnen werden können. Zuletzt werden zwei weitere Anwendungsbeispiele vorgestellt: Zum Einen wird die datengetriebene Methodik auf das Diffusionsproblem angewendet anstatt auf ein mechanisches Problem. Zum Anderen wird ein polymorphes Unschärfemodell generiert indem eine Fuzzy-Variable als weitere Unsicherheit in das Modell hinzugenommen wird.

Data-driven methodologies are attracting more and more attention. The “data-rich” world ushered in the 21st century with ever larger and more unwieldy data sets directed interest toward processing them. Gradually, data-driven computations are also gaining ground in the natural sciences. In numerical mechanics, such methodologies are used in particular for describing the material behavior. Normally, the behavior has to be characterized via experiments and then fitted into models. The second step can be omitted if one is able to use the data obtained by the experiments directly in the calculation. This methodology was presented in 2016 by Trenton Kirchdoerfer and Michael Ortiz for a finite element analysis and will be followed up in this work. First, the so-called “data-driven finite element method” is investigated with respect to its different input parameters. It turns out that the method is robust concerning the numerical stiffness, but the amount and quality of data is essential for the quality of the solution. Then this methodology is investigated in terms of material uncertainties. For this purpose, data-driven computations are performed with data that are generated from stochastic fields. In order to limit the additional numerical effort of the data-driven computation, a method is presented, which by means of a multi-level computation is able to reduce the numerical effort. Instead of a simulation with the complete data set, several simulations with small, adaptive data sets are used. To avoid the complex experimental generation of three-dimensional data, a methodology is presented on how data from numerical calculations can be obtained. Here using the example of a representative volume element. Finally, two further application examples are presented: First, the datadriven methodology is applied to a diffusion problem instead of a mechanical problem. Second, a polymorphic uncertainty model is generated by adding a fuzzy variable as a further uncertainty to the model.