On the knapsack problem and semilinear sets

Abstract

In this thesis we analyze the knapsack problem for different group constructions and groups. The knapsack problem, which has become well known in optimization and economics, is considered here in a group-theoretic context as a decision problem. Of particular interest to us are groups in which the set of solution vectors forms a so-called semilinear set for each input. Such groups are called knapsack-semilinear. The set of knapsack-semilinear groups satisfies good closure properties, some of which we discuss in this thesis. We define the concept of a magnitude and determine in the first part the magnitude of knapsack-semilinear groups under finite extensions, graph products and HNN-extensions or amalgamated products with certain restrictions. It turns out that solvability of knapsack equations of such group constructions is in NP if this is already the case for the base groups. We then show that certain HNN-extensions of knapsack-semilinear groups over infinite associated subgroups are also knapsack-semilinear, if we restrict ourselves to the case where the isomorphism between the subgroups is the identity. An important special case here are the so-called extensions of centralizers. The same applies to central extensions of hyperbolic groups: These are also knapsack-semilinear. As an application, we then conclude that HNN-extensions (of the mentioned restricted form) of hyperbolic groups over quasiconvex subgroups are knapsack-semilinear. In the last part of the thesis we consider the knapsack problem for two more cases, but not from the semilinear aspect. For uniformly SENS groups G the knapsack problem for G ≀ Z is hard in the second existential level of the polynomial time hierarchy. Furthermore, we show that the knapsack problem for SL₃(Z) is already undecidable in the case of a single exponent equation (where variables can occur multiple times).

In dieser Arbeit analysieren wir das Knapsack-Problem für verschiedene Gruppenkonstruktionen und Gruppen. Das Knapsack-Problem, welches in der Optimierung und Wirtschaft bekannt geworden ist, wird hier in einem gruppentheoretischen Zusammenhang als Entscheidungsproblem betrachtet. Für uns interessant sind vor allem Gruppen, bei denen die Menge der Lösungsvektoren für jeden Input eine sogenannte semilineare Menge bildet. Solche Gruppen heißen knapsack-semilinear. Die Menge der knapsack-semilinearen Gruppen erfüllt gute Abschlusseigenschaften, von denen wir in dieser Arbeit einige diskutieren. Wir definieren den Begriff der Magnitude und bestimmen im ersten Teil die Magnitude von knapsack-semilinearen Gruppen unter endlichen Erweiterungen, Graphprodukten und HNN-Erweiterungen bzw. amalgamierten Produkten mit bestimmten Einschränkungen. Es stellt sich heraus, dass Lösbarkeit von Knapsack-Gleichungen von solchen Gruppenkonstruktionen in NP ist, wenn dies bereits für die Basisgruppen der Fall ist. Anschließend zeigen wir, dass auch bestimmte HNN-Erweiterungen von knapsack-semilinearen Gruppen über unendlichen assoziierten Untergruppen knapsack-semilinear sind, wenn wir uns auf den Fall beschränken, dass der Isomorphismus zwischen den Untergruppen die Identität ist. Als wichtiger Spezialfall sind hier die sogenannten Erweiterungen von Zentralisatoren zu nennen. Dasselbe gilt für zentrale Erweiterungen von hyperbolischen Gruppen: Auch diese sind knapsack-semilinear. Als Anwendung schließen wir dann noch, dass HNN-Erweiterungen (der genannten eingeschränkten Form) von hyperbolischen Gruppen über quasikonvexen Untergruppen knapsack-semilinear sind. Im letzten Teil der Arbeit betrachten wir noch das Knapsack-Problem für zwei weitere Fälle, aber nicht vom semilinearen Aspekt. Für uniforme SENS Gruppen G ist das Knapsack-Problem für G ≀ Z bereits schwierig im zweiten existenziellen Level der Polynomialzeithierarchie. Außerdem zeigen wir, dass das Knapsack-Problem für SL₃(Z) im Falle einer einzigen Exponenten-Gleichung (bei der Variablen mehrfach vorkommen können) schon unentscheidbar ist.