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Dokument Type: Doctoral Thesis
Title: Consistent FE-analysis of elliptic variational inequalities
Authors: Klein, Nicole 
Institute: Fakultät IV Naturwissenschaftlich-Technische Fakultät 
Free keywords: FEM, Adaptivität, a posteriori Fehlerschätzer, finite element method, adaptivity, variational inequality, a posteriori error estimate
Dewey Decimal Classification: 510 Mathematik
GHBS-Clases: TBU
TLBF
TLFC
Issue Date: 2012
Publish Date: 2013
Abstract: 
Economical mesh structures are of great interest when simulating physical processes using
the Finite Elemente Method. They are essential
for a fast calculation producing results of high accuracy. In case of restricted problems, many
a posteriori estimators which are the indicators for adaptive refinement turn out to be inconsistent
in areas where the restriction takes place. The effort of the subject matter is to develop a
method to overcome this problem by introducing saddle point
formulations and using the Lagrangian multiplier to balance gaps in the error estimations.
When dealing with sattle point problems there may arise the problem of unstable systems due to an
injured inf-sup-condition, especially in the discrete case.
We solve this problem using the Galerkin least squares method. In consequence
we get additional terms which also have to be taken into account when developing the a posteriori estimators.
To examine the general validity of this method we analyse problems of different type.
That means linear and nonlinear problems with linear or nonlinear restrictions in
the primal or dual variable, respectively.
In all cases, the resulting adaptive mesh structures
turn out out to be very efficient since they outline critical zones of the underlying problems
which is confirmed by numerical tests.

In der Simulation von Fertigungsprozessen mit Hilfe der Finite Elemente Technik sind
ökonomische Gitterstrukturen von großem Interesse da sie für eine schnelle Berechnung
bei gleichzeitiger hoher Genauigkeit unverzichtbar sind. Bei der Behandlung von restringierten
Problemen tritt allerdings häufig das Problem auf, dass die Fehlerschätzer, die als Indikatoren
für eine adaptive Gitterstruktur dienen, in den restringierten Bereichen inkonsistent sind, was zu
ineffizienten Verfeinerungen führt. Für die Optimierung der Fehlerschätzer
führen wir in dieser Arbeit Sattelpunktformulierungen ein um mit Hilfe
des Lagrangeparameters die entstehenden Inkonsistenzen auszugleichen. Bei der Verwendung von
gemischten System kann hier das Problem der Instabilität durch eine verletzte inf-sup Bedingung
auftreten, das wir durch die Verwendung des Galerkin least
squares Ansatzes beheben. Hieraus resultieren allerdings zusätzliche Terme in der Problemformulierung,
die bei der Entwicklung der a posteriori Schätzer ebenfalls berücksichtigt werden müssen. Um die allgemeine
Gültigkeit unserer Methode zu untersuchen, analysieren wir Probleme mit unterschiedlichen
Eigenschaften, das heißt lineare und nichtlineare Gleichungen mit linearen bzw. nichtlinearen
Restriktionen in der primalen oder dualen Variable.
In numerischen Tests stellt sich heraus, dass wir in allen Fällen
effiziente Gitterstrukturen erzielen, die die kritischen Zonen der jeweiligen
Probleme durch hohe Verfeinerung herausarbeiten.
URN: urn:nbn:de:hbz:467-7429
urn:nbn:de:hbz:467-7429
URI: https://dspace.ub.uni-siegen.de/handle/ubsi/742
License: https://dspace.ub.uni-siegen.de/static/license.txt
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