Inferring properties of quantum systems with random measurements

Abstract

How can quantum systems be probed by random measurements? And what are the advantages? With the advance of quantum technologies, larger and larger quantum systems have to be characterized. An important question in quantum information theory is therefore the development of efficient methods to infer properties of a quantum system. In this regard, random measurements are discussed in a variety of different contexts. The applications range from the estimation of the fidelity by sampling the Pauli operators at random to measurements in random directions for entanglement detection. Random measurements have also been used in the original formulation of shadow tomography. In this thesis we first consider the evaluation of spin-squeezing inequalities by random measurements in Sec. 3. For this purpose we note that the spin-squeezing inequalities can also be retrieved from pair correlations. This opens the possibility to randomize the scheme. We show that spin-squeezing inequalities can be obtained from random pair correlations, i.e., correlations between random pairs of qubits. The spin-squeezing inequalities are nonlinear in the quantum state and thus we propose an approach to perform a statistical analysis of the nonlinear estimators. Our statistical analysis is not limited to spin-squeezing inequalities but can also be applied to other linear or nonlinear quantities. In Sec. 4, we apply a similar randomized approach to Bell inequalities. Certain classes of Bell inequalities for multiqubit systems show the promising feature of an exponentially increasing violation of the bound in local theories. Whereas this makes the inequalities more robust against noise, it also comes with the caveat that the measurement resources increase exponentially. We show that it is not necessary to sample all measurement settings of the Bell inequality. A statistically significant violation of a Bell inequality can also be achieved by sampling fewer measurement settings at random. We further point out that for graph states, which are a specific subset of entangled multiqubit states, there are Bell inequalities known that exhibit an exponential nonlocality. As graph states can be readily adapted to the two-qubit connectivity of a quantum computer, they can be used to benchmark quantum computers by the produced nonlocality. In Sec. 5 in turn, we consider measurements in random bases. We show that all invariants under local unitary transformations can be inferred from randomized measurements and give expressions for all invariants in the two qubit case. The method is implemented in an experiment and we include two applications. On the one hand, we derive the Bell violation that can be observed for the state in the experiment. On the other hand, we show that also the usefulness of the state in teleportation protocols can be assessed from the data. Finally, in Sec. 6 we discuss a new formulation of shadow tomography. Whereas the original scheme uses unitaries that are sampled from a fixed set at random, we show that shadow tomography can also be formulated in terms of generalized measurements. This formulation puts the method in a new light. Especially, it shows that shadow tomography cannot only be implemented by randomization but also by introducing an ancilla system. The formulation in terms of generalized measurements in addition allows for a natural way to include noise and for the optimization of the measurements.

Wie lassen sich Quantensysteme mit Hilfe von zufälligen Messungen erforschen? Und ergeben sich daraus Vorteile? Der Fortschritt der Quantentechnologien erfordert es, immer größere Quantensysteme zu charakterisieren. Eine drängende Frage in der Quanteninformationstheorie ist daher die Entwicklung effizienter Messmethoden. In diesem Zuammenhang wurden zufällige Messungen für eine Vielzahl unterschiedlicher Anwendungen diskutiert. Die Anwendungen reichen dabei von der Abschätzung der Fidelität eines Quantenzustands durch zufällige Messung der Pauli-Operatoren bis hin zu Messungen in zufälligen Richtungen zum Nachweis von Verschränkung. Zudem werden Zufallsmessungen auch in der ursprünglichen Formulierung von Shadow Tomography verwendet. In dieser Arbeit betrachten wir in Abschnitt 3 zunächst die Auswertung von Spin-Squeezing-Ungleichungen durch zufällige Messungen. Dazu weisen wir darauf hin, dass die Spin-Squeezing-Ungleichungen auch aus Paarkorrelationen bestimmt werden können. Dies ermöglicht, das Schema zu randomisieren. Wir zeigen, dass Spin-Squeezing-Ungleichungen aus zufälligen Paarkorrelationen, d.h. Korrelationen zwischen zufälligen Paaren von Qubits, gewonnen werden können. Spin-Squeezing-Ungleichungen sind nicht linear im Quantenzustand und wir schlagen daher eine statistische Analyse vor, die auch bei nicht linearen Größen verwendet werden kann. Die statistische Analyse ist nicht auf Spin-Squeezing-Ungleichungen beschränkt, sondern kann auch auf andere lineare oder nichtlineare Größen angewendet werden. In Abschnitt 4 wenden wir einen ähnlichen Ansatz auf Bell-Ungleichungen an. Bestimmte Klassen von Bell-Ungleichungen für Multiqubit-Systeme zeigen die vielversprechende Eigenschaft, dass die Verletzung der lokalen Schranke exponentiell mit der Anzahl der Qubits zunimmt. Dies macht die Ungleichungen zwar robuster gegen Rauschen, der experimentelle Test benötigt jedoch Messressourcen, die auch exponentiell ansteigen. Wir zeigen, dass es nicht notwendig ist, alle Messeinstellungen der Bell-Ungleichung zu messen. Eine statistisch signifikante Verletzung einer Bell-Ungleichung kann auch durch eine zufällige Auswahl weniger Messeinstellungen erreicht werden. Wir betonen, dass für Graphen-Zustände, die eine spezielle Untermenge von verschränkten Multiqubit-Zuständen darstellen, Bell-Ungleichungen mit einer exponentiellen Verletzung bekannt sind. Da Graphenzustände leicht an die Zwei-Qubit-Konnektivität eines Quantencomputers angepasst werden können, lassen sie sich für den Vergleich von Quantencomputern anhand der erzeugten Verletzung verwenden. In Abschnitt 5 betrachten wir Messungen in zufälligen Messbasen. Wir zeigen, dass alle Invarianten unter lokal unitären Transformationen aus zufälligen Messungen abgeleitet werden können und geben die Ausdrücke aller Invarianten für ein System aus zwei Qubits an. Die Methode wird an einem System aus zwei Qubits experimentell durchgeführt. Als Anwendung leiten wir einerseits die mögliche Bell-Verletzung des Quantenzustands ab. Andererseits zeigen wir, dass mithilfe zufälliger Messeungen abgeschätzt werden kann, ob der Quantenzustand sich für Teleportationsprotokolle eignet. Schließlich diskutieren wir in Abschnitt 6 eine neue Formulierung der Shadow Tomography. Während die ursprüngliche Methode unitäre Transformationen verwendet, die zufällig aus einer festen Menge ausgewählt werden, zeigen wir, dass Shadow Tomography auch mit verallgemeinerten Messungen formuliert werden kann. Daraus ergeben sich neue Sichtweisen auf die Methode. Insbesondere zeigt die Formulierung mithilfe von verallgemeinerten Messungen, dass Shadow Tomography nicht nur durch zufällige Messungen sondern auch durch die Einführung eines Hilfssystems umgesetzt werden kann. Die Formulierung in Form von verallgemeinerten Messungen ermöglicht darüber hinaus die einfache Berücksichtigung von Rauschen und die Optimierung der Messungen.